Electromagnetism Crash Course 电磁场与波速成笔记

(以停更 Jun 27, 17:24, 2025), 第 2, 7, 8, 9, 10 章相对比较完整

宇宙安全声明: 本笔记是本人电子科技大学格院大三《电磁场与波》课程的期末考试复习笔记, 遵循个人学习习惯与轨迹, 但我将尝试保留所有概念的动机和尽可能地解释原因, 不保证覆盖全部考点, 不保证严谨性和绝对正确性. 框中的公式比较重要. 本文有较多超出考试范围的内容, 仅供参考.

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1 Change of Mind 这个可能有用

“我们永远无法认识事物本身 (Ding an sich), 我们只能认识它在我们感官和理解结构下所呈现的现象.” — 康德《纯粹理性批判》

• 电磁场从来都不会「传播」: 电磁场本身就是空间中每个点都对应一个矢量, 而且这些矢量会随着时间摇摆, 用二维来做比喻, 就像是风吹过一片草坪, 草坪上每个点的草构成一个时变矢量场, 但草本身并没有「传播」. 我们感觉波在传播是因为波恰好就被画成了空间域周期性的样子, 而且它碰巧又是在时域周期性运动, 当我们一眼看过去的时候, 我们大脑被欺骗地认为是一个波正在往前运动, But there is nothing moving! 波的速度需要人为定义!!!

  • 当波是时空域正弦的时候, 它的移动方向和速度所有人都觉得一样, 但是:

  • 如果波是 Figure 1 的样子呢? 有些人会觉得它速度快, 有些人会觉得它速度慢, 甚至移动的方向每个人看起来都不一样! 所以我们引入了群速度和相速度两个速度来描述波「传播」的快慢.

  • 能流密度的定义是把波的速度当作了相速度时的定义 (所以能量才有了「流动」的概念).

    

    Figure 1: 群速度与相速度

• 波的行为完全由一组偏微分方程 (Maxwell 方程组) 描述
  • 电场和磁场为什么会传播? 因为求解偏微分方程后得到的是空间二阶导与时间二阶导 (而不是一阶导) 的方程, 这决定了这两个场的行为是「传播」而不是「扩散」(如果是时间一阶导, 则是扩散, 比如热量).
  • 电磁波为什么会反射和折射? 当你写下 Maxwell 方程组的那一刻, 它定义的对象 (电磁波) 就已经会反射和折射了. 设想你轻轻摇动一根绳子, 左行波和右行波 (还有无数其它奇形怪状的波) 都满足振动方程. 如果没有边界条件, 就用右行波当作这个情形的 mental picture 吧. 若将绳子的另一头固定在墙上, 单独一个右行波并不能保证满足这个边界条件, 所以再叠加一个左行波试试, 诶已经可以满足边界条件了! 这个左行波就是反射波, 它完全就是为了满足边界条件而引入的. 所以 反射的本质是为了让偏微分方程的解满足边界条件而引入的修正项 (\(E_r e^{jkz}\)).
• 电磁波不需要一定是一个正弦波的样子, 可以是任何随时间变化的场, 只要满足 Maxwell 方程组就行. 就像水面的波纹也是由一个偏微分方程所描述的, 但水波微澜不定，自有万千形态.
  • 那为什么我们好像指讨论过正弦波? 因为正弦波是 Maxwell 方程组的特征解, 其他的解都是特征解的线性组合. 所以只需要研究特征解就行了, 而 Maxwell 方程组的 Phasor 表示就是专门描述特征解的, 所以只需要研究 Phasor 表示就足够.
• 要优雅地理解电磁场理论, 必须引入狭义相对论、四元数 (或 Maxwell 电磁张量). 在经典力学中, 比较难看清电磁场的本质.

2 Vector Analysis 向量分析

2.1 Vector operations 向量运算

• Mixed product 混合积: \[ \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) = \mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \]

• BAC-CAB rule 三叉乘 BACK-CAB 规则: \[ \begin{aligned} \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) &= \mathbf{b} (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c} (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \\ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) &= \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A} \\ \end{aligned}\]

  • \(\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})\) 的结果在 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 的平面内.

  • 三叉乘操作等价于先投影 \(\mathbf{a}\) 再旋转 \(90^\circ\):

  • 空间二阶导算子 \(\nabla^2\)

    • 当 \(\nabla^2\) 作用在标量场 \(\psi\) 上时, \(\nabla^2 \psi \equiv \nabla \cdot \nabla \psi\).
    • 当 \(\nabla^2\) 作用在向量场上时, 约定为 作用在向量场的每个分量上 (相当于三个标量场). 注意这个时候 $^2 $.
    • 引入 \(\nabla^2\) 是因为 \(\nabla^2\) 是二阶导的自然高维推广 (而不是 \(\nabla \times \nabla\)). 用 \(\nabla^2\) 列出的方程的每个分量一般就是二阶一维 PDE. 所以涉及到 \(\nabla^2\) 的方程我们都 component-wise 地求解.

2.2 Vector fields 向量场

• 约定: 标量场是 \(0\)-form, 向量场是 \(1\)-form, 只考虑三维向量场 \(\omega: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\).

• Gradient, curl, divergence 梯度, 旋度, 散度: 都可看作某种导数:「外微分算子」.

  • 旋度计算: 用 symbolic 叉乘 (“掐头去尾取中间”, 见 Figure 2).

    

    Figure 2: 叉乘的计算技巧

• 外微分算子的 Exact 正和性 与 Poincaré’s lemma 庞加莱引理:

  • Exact 正和性 \(\mathrm{d}^2 = 0\): 梯度无旋, 旋度无散.

  • Poincaré’s lemma 庞加莱引理: 闭形式一定是恰当形式, 即无旋场一定是梯度场, 无散场一定是旋度场.

  • Potential 势函数:

    • 若恰当形式 \(\alpha = \mathrm{d}\beta\), 则称 \(\beta\) 是 \(\alpha\) 的 (矢)势 (比如磁场, \(\alpha = \mathbf{B}\), \(\beta = \mathbf{A}\))
    • 若恰当形式 \(\alpha = -\mathrm{d}\beta\), 则称 \(\beta\) 是 \(\alpha\) 的 (标量)势 (比如电场, \(\alpha = \mathbf{E}\), \(\beta = \varphi\))

  • 恰当形式是不唯一的, 不同的恰当形式之间相差一个 Gauge:

    • 若 \(\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}\), 则 \(\mathbf{A} + \nabla \psi\) 也是 \(\mathbf{B}\) 的磁势.
    • 若 \(\mathbf{E} = -\nabla \varphi\), 则 \(\varphi + c\) 也是 \(\mathbf{E}\) 的电势.
    • 不同的 \(\psi\) 和 \(c\) 称为不同的 Gauge (e.g. Coulomb gauge, Lorenz gauge).

• Stokes’ theorem 广义斯托克斯定理: 即 Newton–Leibniz theorem 牛顿-莱布尼茨定理 的推广, \(\omega\) 在流形 \(M\) 边界上的积分等于 \(\mathrm{d}\omega\) 在 \(M\) 内部的积分: \[ \int_{\partial M} \omega = \int_M \mathrm{d}\omega \]

  • 特例: Gauss’s 定理 和 Green’s 定理.
  • Stokes’ 定理可从积分形式的 Maxwell 方程推导出其微分形式, 反之亦然.

3 Magnetostatics 静磁学

3.1 Conduction current 传导电流

• 因电荷运动产生的电流. 每秒通过指定截面的电荷量¹ \[I = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}.\]

¹ 这不是 \(I\) 的定义! 国际上用力定义了电流, 再用电流定义了电荷量.

• Current density 电流密度: 每秒通过单位截面的电荷量 \[|\mathbf{j}| := \frac{I}{A}.\]

• 传导电流产生静磁场, 可由以下关系描述:

  \[ \begin{aligned} \mathbf{B}(\mathbf{r}) &= \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf{I} \times \mathbf{\hat{r}}}{r^2} \mathrm{d}l' \quad &\text{(Biot-Savart law)} \\ \operatorname{Flow}_C (\mathbf{B}) &= \mu_0 I_{\text{enc}} \quad &\text{(Ampère's law)} \\ \mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} &= \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \quad &\text{(Ampère's law)} \end{aligned} \]

3.2 Displacement current 位移电流

• 因电场 (电位移矢量) 的变化

4 Capacitance & Inductance 电容与电感

5 \(\mathbf{D}\) 和 \(\mathbf{H}\) 的引入

动机: 静电场和静磁场分别由电荷和恒定电流产生, 而介质中这两者会由于 极化 和 磁化 而发生变化 (激发出额外的 感应电荷 \(\rho_b\) 和 磁化等效电流 \(\mathbf{j}_b\)), 而我们并不关心感应出来的量的变化, 只关心本来的电荷和电流 (称为 自由电荷 \(\rho_f\) 和 自由电流 \(\mathbf{j}_f\)). 我们将他们的变化融入 \(\mathbf{E}\) 和 \(\mathbf{B}\), 得到新的量 \(\mathbf{D}\) 和 \(\mathbf{H}\).

本章假设存在磁单极子.

• Dipole 偶极子
  • Electric Dipole 电偶极子: 一正一负两个电荷 \(q\) 组成的整体 或 环形磁流 \(\mathbf{I}_m\)

    • Electric Dipole Moment 电偶极矩 \(\mathbf{p}\): \[\mathbf{p} := q \mathbf{d} \tag{1}\] 其中 \(\mathbf{d}\) 的方向由负电荷指向正电荷. 这样定义是为了方便计算作用在 dipole 上的力矩: \[\mathbf{\tau} = \mathbf{p} \times \mathbf{E}\]

    • 磁流版本的电偶极矩 \(\mathbf{m}_e\)²: 磁单极子的流动可等效于极化电荷: \[\mathbf{m}_e := I_m \mathbf{A} \tag{2}\] 其中 \(\mathbf{A}\) 是环形磁流的面积向量, \(I_m\) 是磁流大小. 注意 \(\mathbf{m}_e\) 不是 \(\mathbf{p}\), 而是差一个常数: \[\mathbf{p} = \epsilon_0 \mathbf{m}_e\]

    • Generalized Electric Dipole Moment 广义电偶极矩: 区域 \(V_0\) 内的 任意连续电荷分布 \(\rho(x,y,z)\) 的 电偶极矩 或 任意连续磁流 \(\mathbf{j}_m(x,y,z)\) 版本: \[\begin{aligned}\mathbf{p} &:= \int_{V_0} \rho \mathbf{r} ~\mathrm{d}V \\ \mathbf{m}_e &:= \frac{1}{2} \int_{V_0} \mathbf{r} \times \mathbf{j}_m ~\mathrm{d}V \end{aligned} \tag{3}\]

    • Electric Dipole Moment Density 电偶极矩密度: 即 Equation 3 在某点的密度: \[\mathbf{P} := \lim_{V_0 \to 0} \frac{\mathbf{p}}{V_0}, \mathbf{M}_e := \lim_{V_0 \to 0} \frac{\mathbf{m}_e}{V_0}\] 因而 \[\mathbf{p} = \int_{V_0} \mathbf{P} ~\mathrm{d}V, \mathbf{m}_e = \int_{V_0} \mathbf{M}_e ~\mathrm{d}V\]

  • Magnetic Dipole 磁偶极子: 一正一负两个磁荷 \(q_m\) 组成的整体 或 环形电流 \(\mathbf{I}\), 所有的概念跟上面是完全对称的, 直接给出:

    • Magnetic Dipole Moment 磁偶极矩 \(\mathbf{p}\): \[\begin{aligned}\mathbf{p}_m &:= q_m \mathbf{d} \\ \mathbf{\tau} &= \mathbf{p}_m \times \mathbf{H} \end{aligned} \tag{4}\]

    • 电流版本的磁偶极矩 \(\mathbf{m}\): \[\begin{aligned}\mathbf{m} &:= I \mathbf{A} \\ \mathbf{p}_m &= \mu_0 \mathbf{m}\end{aligned}\]

    • Generalized Magnetic Dipole Moment 广义磁偶极矩: \[\begin{aligned}\mathbf{p}_m &:= \int_{V_0} \rho_m \mathbf{r} ~\mathrm{d}V \\ \mathbf{m} &:= \frac{1}{2} \int_{V_0} \mathbf{r} \times \mathbf{j} ~\mathrm{d}V \end{aligned}\]{#eq-m-generalized-dipole-moment}.

    • Magnetic Dipole Moment Density 磁偶极矩密度: \[\mathbf{P}_m := \lim_{V_0 \to 0} \frac{\mathbf{p}_m}{V_0}, \mathbf{M} := \lim_{V_0 \to 0} \frac{\mathbf{m}}{V_0}\] 因而 \[\mathbf{p}_m = \int_{V_0} \mathbf{P}_m ~\mathrm{d}V, \mathbf{m} = \int_{V_0} \mathbf{M} ~\mathrm{d}V\]

² 为了对偶我自己发明的词.

广义电偶极子的引入动机与定义公式的原因

动机: 其实就是解决如何定义电偶极矩密度的问题, 偶极子本身就是用点电荷定义的, 密度肯定要用连续电荷分布来定义, 如果电荷是连续的, 还有偶极子吗?

• 所以我们引入了 Generalized Dipole 广义偶极子³: 广义电偶极子不再是两个正负电电荷的组合或环形磁流, 而是任意 (连续的也行) 的电荷分布 或 磁流 (不需要是环形的) 分布!

• 然后为了推广 Equation 1 到这个广义偶极子上, 有两个问题要解决:

  • 任意离散电荷分布的情况, 电荷没有想电偶极子那样两两配对, 如何定义 \(q\) 和 \(\mathbf{d}\)?
    • \(\mathbf{d}\) 可以看作 \(\mathbf{r_1} - \mathbf{r_2}\)
  • 连续的情况怎么处理?
    • \(q\) 可以看作 \(\rho ~\mathrm{d}V\)
  • 最终, \[\mathbf{p} := \int_{V_0} \rho \mathbf{r} ~\mathrm{d}V \tag{5}\]

  

  Figure 3: 电偶极矩的推广

• 为了推广 Equation 2 到这个广义偶极子上

  • 我们先对面积 \(A\) 用以下方法重新表示 (符号见 Figure 4): \[ \begin{aligned} \mathbf{A} &= \sum_i A_i \\ &= \frac{1}{2} \oint \mathbf{r}' \times ~\mathrm{d} \mathbf{l} \\ &= \frac{1}{2} \oint (\mathbf{a}-\mathbf{b}) \times ~\mathrm{d} \mathbf{l} = \frac{1}{2} \oint \mathbf{a} \times ~\mathrm{d} \mathbf{l} - \underbrace{\frac{1}{2} \oint \mathbf{b} \times ~\mathrm{d} \mathbf{l}}_{=0} \\ &= \frac{1}{2} \oint \mathbf{a} \times ~\mathrm{d} \mathbf{l} \\ &= \frac{1}{2} \oint (\mathbf{r} - \mathbf{h}) \times ~\mathrm{d} \mathbf{l} = \frac{1}{2} \oint \mathbf{r} \times ~\mathrm{d} \mathbf{l} - \underbrace{\frac{1}{2} \oint \mathbf{h} \times ~\mathrm{d} \mathbf{l}}_{=0} \\ &= \frac{1}{2} \oint \mathbf{r} \times ~\mathrm{d} \mathbf{l} \end{aligned} \]

    

    Figure 4: 面积的连续化

  • 所以 Equation 2 变成了: \[\mathbf{m}_e = I_m \mathbf{A} = \frac{1}{2} \oint \mathbf{r} \times \mathbf{I}_m ~\mathrm{d}l\]

  • 直接把去掉环路积分, 把 \(\mathbf{I}_m\) 改成 \(\mathbf{j}_m\) 就是广义偶极子的磁流形式: \[\mathbf{m}_e = \frac{1}{2} \int_{V_0} \mathbf{r} \times \mathbf{j}_m ~\mathrm{d}V \tag{6}\]

³ 为了逻辑的顺畅自己起的名字.

• Electric Displacement 电位移矢量

  • Dipole Moment 电偶极矩: 为了研究 dipole 偶极子在均匀电场中的转动, 如果引入电偶极矩: \[\mathbf{p} := q \mathbf{d}\] (\(\mathbf{d}\) 的方向由负电荷指向正电荷), 作用在 dipole 上的力矩将会变得很方便记忆和计算: \[\mathbf{\tau} = \mathbf{p} \times \mathbf{E} \tag{7}\]

    

    电偶极矩的引入最初仅仅是为了让力矩的计算 (Equation 7) 变得方便

  • 感应电荷在介质内部的体密度 \(\rho_b\) 和 介质边界的面密度 \(\rho_{bs}\) 可以被 Dipole Moment Density 偶极矩密度⁴ \(\mathbf{P}\) 表示:

⁴ 也叫 Polarization Density 极化密度.

6 Electromagnetic Induction 电磁感应

6.1 Faraday’s Law 法拉第定律

• 两种完全不同的机制 Figure 5 [1]:

  • 1. Lorentz force 洛伦兹力 (「切割磁感线」): \[ \begin{aligned} \mathbf{F} &= q \mathbf{v} \times \mathbf{B} \\ &= q \mathbf{E} \\ \implies \mathcal{E} &= \oint \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} = BLv \end{aligned} \]
  • 2. 3. Induced electric field 感应电场: \[\operatorname{curl} \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.\]

  

  Figure 5: 法拉第做的三个实验

• 但这两种机制都产生了 EMF, 且都可以用「磁通量的变化」来描述: \[\mathcal{E} = \operatorname{Flow}_C (\mathbf{E}) = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}.\] 这个巧合直接导致了狭义相对论的出现!

7 Complexification, Phasor and Jones Vector 场的复化, 相量和琼斯矢量

• 简要动机
  • Field 场: 空间每一点都附加三个实数 (\(E^x, E^y, E^z\)), 且可以随时间变化.
  • Complexification 复化: 场在某一点的每个分量都可以看作一个旋转⁵的复数的实部. 以 \(E^x\) 为例: \[E^x = \Re (E^x_m e^{j \varphi(t)})\] 其中 \(E^x_m\) 是 \(E^x\) 的最大值, \(\varphi(t)\) 定义了这个复数如何旋转.
  • Phasor 相量: 如果场是时谐的 (即每一点的每个分量都是正弦的), 则 \(\varphi(t) = \omega t\), 可以将这部分剥离出来, 剩下的称为Phasor 相量.
  • Jones Vector 琼斯矢量: 如果场是不仅是时谐, 还是空谐的, 则可以继续将 \(e^{-jkz}\) 剥离出来 (假设波沿 \(-z\) 方向传播), 剩下的称为Jones 矢量.

⁵ 不能伸缩, 所以要取 \(E^x\) 的最大值作为复数的模长.

• 表格总结⁶

⁶ 以电场为例.

Table 1: 场的表示, 导数算子在各表示中的形式

Type	Electric Field	Complexified Field	Phasor Field	Jones Vector
Description	Original field	Real part of this is the original field	Only record the phase at \(t=0\)	Only record the phase at \(t=0, z=0\)
Notation	\(\mathbf{E}=\begin{pmatrix} E^x \\ E^y \\ E^z \\\end{pmatrix}\)	\(\underline{\mathbf{E}}=\begin{pmatrix} \underline{E}^x \\ \underline{E}^y \\ \underline{E}^z \\\end{pmatrix}\)	\(\tilde{\mathbf{E}}=\begin{pmatrix} \tilde{E}^x \\ \tilde{E}^y \\ \tilde{E}^z \\\end{pmatrix}\)	\(J_E=\begin{pmatrix} J_E^x \\ J_E^y \\ J_E^z \\\end{pmatrix}\)
Math Nature	\(\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \times \mathbb{T}\)	\(\mathbb{R}^3 \to \mathbb{C}^3 \times \mathbb{T}\)	\(\mathbb{R}^3 \to \mathbb{C}^3\)	\(\mathbb{CP}^1\)
Relation	-	\(\mathbf{E} = \Re{(\underline{\mathbf{E}})}\)	\(\underline{\mathbf{E}} = \tilde{\mathbf{E}} e^{j \omega t}\)	\(\tilde{\mathbf{E}} = J_E e^{-jkz}\)
Example	\(\begin{pmatrix} \sin(\omega t - kz -\frac{\pi}{4}) \\ \cos(\omega t - kz -\frac{\pi}{4}) \\ 0 \\\end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix} -j e^{j(\omega t - kz - \frac{\pi}{4})} \\ e^{j(\omega t - kz - \frac{\pi}{4})} \\ 0 \\\end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix} -je^{j(-kz - \frac{\pi}{4})} \\ e^{j(-kz - \frac{\pi}{4})} \\ 0 \\\end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix} -j e^{-j \frac{\pi}{4}} \\ e^{-j \frac{\pi}{4}} \\ 0 \\\end{pmatrix} \equiv [-j:1]\)
Time Derivative	\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\)	-	\(j \omega \cdot\)	\(\text{id}(\cdot)\)
	\(\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}\)	-	\(-\omega^2 \cdot\)	\(\text{id}(\cdot)\)
Space Derivative	\(\nabla^2\)	-	\(\nabla^2\)	\(\text{id}(\cdot)\)
	\(\nabla \times\)	-	\(\nabla \times\)	-
	\(\nabla \cdot\)	-	\(\nabla \cdot\)	-
\(\Box^2\)	\(\nabla^2 - \epsilon \mu \frac{\partial^2}{\partial t^2}\)	-	\(\nabla^2 + k_c^2, \quad k_c = \omega \sqrt{\epsilon \mu}\)	-

详细动机

• Phasor 相量

  • Time-harmonic 时谐波: 固定空间的任意一点, 这一点的 \(\mathbf{E}\) 和 \(\mathbf{H}\) 的三个分量都是时间的正弦函数.
    • 没有说空间上是周期性的!
  • Phasor 相量:
    • 固定角频率 \(\omega\) 的正弦波集合 在向量空间的意义上 同构于复数域 \(\mathbb{C}\), 对应的复数称为 Phasor 相量
    • 为何同构? 每个正弦波只与初始状态有关, 每个初始状态与一个复数一一对应.
    • 为何固定角频率? 因为很多系统 (RC 电路, 弹簧振子, etc.) 在正弦输入下所有的物理量 (电压, 电流, 位移, 速度, etc.) 时间上一定是同频的.
    • 相量 \(Ae^{j\theta_0}\) 中没有时间信息!
  • 对于时谐 EM 波, 我们只关心初始状态, 即相量场: \(\tilde{\mathbf{E}}: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{C}^3\) (三维空间的每个点上在三个方向上各有一个相量).
    • E.g., 时谐场与相量的转化: \[\begin{pmatrix} E^x \cos(\omega t - z) \\ E^y \sin(\omega t - z) \\ 0 \\\end{pmatrix} \xrightarrow{\text{complexification}} \begin{pmatrix} E^x e^{j(-z)} e^{j\omega t} \\ E^y (-j) e^{j(-z)} e^{j\omega t} \\ 0 \\\end{pmatrix} \xrightarrow{\text{phasor}} \begin{pmatrix} E^x e^{j(-z)} \\ E^y \boxed{(-j)} e^{j(-z)} \\ 0 \\\end{pmatrix}\]
    • \(\sin\) 为什么是 \(-j\)? (\(\sin\) 可以看作 \(\cos\) 的求导的相反数, 而求导操作是直接乘 \(j\))

• Jones vector 琼斯矢量

  • 动机: 在时谐波的相量表示里, 我们不关心波的频率, 只关心波的初始状态, 所以在相量里我们省略了时间信息 (\(\omega t\)), 只保留了波在每一点的初始相位 (时间意义上的初始), 通过观察这个相位的周期性变化, 所以我们仍然可以在相量中获取波长信息. 但是为了分类偏振状态, 我们也并不关心这个波长信息. 所以我们进一步省略了波长信息, 进一步简化了波的初始状态 (空间意义上的初始), 得到的矢量称为 Jones vector 琼斯矢量.
    • 不失一般性, 先要取坐标系使得波沿 \(+z\) 传播 (所以如果是 \(-z\) 方向, 所有结论都要取反!!!)
    • Jones 矢量不再是一个场, 而是一个 (复二维) 向量 (由于我们已经让波沿 \(+z\) 传播, 所以 \(z\) 分量为 \(0\), 后面我们会看到, 其实不止一个复二维向量可以对应一种极化方式, 要模掉他们, 得到的是 Spinors 旋量).
    • E.g., 时谐场与 Jones 矢量的转化: \[\begin{pmatrix} E^x \cos(\omega t - z) \\ E^y \sin(\omega t - z) \\ 0 \\\end{pmatrix} \xrightarrow{\text{phasor}} \begin{pmatrix} E^x e^{j(-z)} \\ E^y \boxed{(-j)} e^{j(-z)} \\ 0 \\\end{pmatrix} \xrightarrow{\text{Jones}} \begin{pmatrix} E^x \\ E^y (-j) \\\end{pmatrix} \tag{8}\]
  • Jones 矢量在 Poincaré Sphere 庞加莱球上⁷
    • 动机: 我们已经知道一种极化方式可以用一个复二维向量表示, 但是我们会发现, 这种表示并不是唯一的. 所以, 对每一种表示, 我们都只留下一个矢量 (模掉一个等价关系 \(\sim\)), 得到的空间为 \(\mathbb{C}^2 / \sim\), 其中的元素才是真正的 Jones 矢量 (也称旋量).
    • 等价关系: 两个 Jones 矢量 \(J_1 \sim J_2 :\iff J_1 = \alpha J_2\) for some \(\alpha = A e^{j\theta} \in \mathbb{C}^{\times}\). 其物理意义是:
      • 不关心空间初始相位: \[\begin{pmatrix} E^x \\ E^y (-j) \\\end{pmatrix} \sim e^{j\theta} \begin{pmatrix} E^x \\ E^y (-j) \\\end{pmatrix}, \quad \forall \theta \in [0, 2\pi)\]
      • 不关心电磁波的振幅: \[\begin{pmatrix} E^x \\ E^y (-j) \\\end{pmatrix} \sim A \begin{pmatrix} E^x \\ E^y (-j) \\\end{pmatrix}, \quad \forall A \in \mathbb{R}^{\times}\]
    • 这正是 \(\mathbb{CP}^1\) 的定义! Surprise!!!

⁷ 名字很多: Riemann Sphere (通用), Bloch Sphere (一般在量子力学中), Poincaré Sphere (电磁学), Complex Projective Line \(\mathbb{CP}^1\) (数学中), Extended Complex numbers \(\mathbb{\hat{C}}\). 其中的元素也叫 Spinors 旋量.

Table 1 内容的证明

不失一般性, 大部分 Claim 只需证明其中一个分量即可.

• Lemma 1: The conjugation operation \(^*\) distributes over \(+\) and \(\cdot\), i.e.,\[\begin{aligned} (z+w)^* &= z^* + w^* \\ (zw)^* &= z^* w^* \end{aligned}\]

  Pf. 这是显然的.

• Lemma 2: \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\) 与 \(^*\) 可交换, i.e., \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \circ ^* = ^* \circ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\]

  Pf. 设 \(z(t) = a(t) + jb(t) \in \mathbb{C}\), \[ \begin{aligned} z^*(t) &= a(t) - jb(t) \\ \implies \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} z^*(t) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (a(t) - jb(t)) = \frac{\mathrm{d} a(t)}{\mathrm{d}t} - j \frac{\mathrm{d} b(t)}{\mathrm{d}t} \\ &= \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} z(t)\right)^* \end{aligned} \]

  Q.E.D. (同理可证 \(\frac{\partial}{\partial x}\) 和 \(^*\) 也可交换)

• Lemma 3: \(\Re\) 与 \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\) 可交换, i.e., \[\Re \circ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \circ \Re\]

  Pf. \(\Re\) 是 \(+\) 和 \(\cdot\) 的组合, 由 Lemma 1 和 Lemma 2 易证.

• Claim 1: \(~\tilde{}~\) 与 \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\) 可交换, i.e., \[\widetilde{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} E^x} = j \omega \tilde{E^x}\]

  Pf. 时谐波一定满足: \[ \begin{aligned} E^x &= \Re{(\tilde{E}^x e^{j \omega t})} \\ \implies \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} E^x &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \Re{(\tilde{E}^x e^{j \omega t})} \\ &= \Re{(\tilde{E}^x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} e^{j \omega t})} \\ &= \Re{(\tilde{E}^x j \omega e^{j \omega t})} \\ \implies\widetilde{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} E^x} &= j \omega \tilde{E}^x \end{aligned} \]

  Q.E.D. (同理可证 \(~\tilde{}~\) 与 \(\frac{\partial}{\partial x}\) 也可交换)

• Claim 2: \(~\tilde{}~\) 与 \(\nabla^2\) 可交换, i.e., \[\widetilde{\nabla^2 E^x} = \nabla^2 \tilde{E}^x\]

  Pf. \(\nabla^2\) 是 \(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\) 的复合和线性组合, 由 Claim 1 可证.

  Q.E.D. (同理可证 \(~\tilde{}~\) 与 \(\nabla \times\) 和 \(\nabla \cdot\) 也可交换)

另外注意: \[\widetilde{E \times H} \neq \tilde{E} \times \tilde{H}\]

8 Maxwell’s Equations 麦克斯韦方程组

8.1 Without magnetic monopoles 无磁单极子

\[ \nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_f \tag{9}\] \[ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \tag{10}\] \[ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \tag{11}\] \[ \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{j}_f + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \tag{12}\]

• Source-free 无源: 没有自由电荷, i.e., \(\rho_f = 0\).
• Lossless 无损: 当 \(\mathbf{E}\) 存在时不会产生电流, i.e., \(\mathbf{j}_f = 0\) or \(\sigma = 0\).
  • Source-free Lossless Maxwell’s equations 无源无损介质的麦克斯韦方程组: \[ \begin{cases} \nabla \cdot \mathbf{D} &= 0 \\ \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \\ \nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \nabla \times \mathbf{H} &= \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \\ \end{cases} \tag{13}\]
• Ideal conductor 理想导体: 当 \(\mathbf{E}\) 存在时, 电流无穷大 (所以不能存在 \(\mathbf{E}\)), i.e., \(\sigma = \infty\).

8.2 With magnetic monopoles 有磁单极子

\[ \begin{cases} \nabla \cdot \mathbf{D} &= \rho_f \\ \nabla \cdot \mathbf{B} &= \rho_{mf} \\ \nabla \times \mathbf{E} &= -\mathbf{j}_{mf} -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \nabla \times \mathbf{H} &= \mathbf{j}_f + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \\ \end{cases} \]

• \(\rho_{mf}\): 自由磁荷密度, \(\mathbf{j}_{mf}\): 自由磁流密度

8.3 Potential functions 势函数的麦克斯韦方程组

• 我们希望通过引入势函数来将 Maxwell 方程变成只有两个 (称为 D’Alembert 方程).

• 我们拿出 Maxwell 方程组的中间两个 (Equation 10 和 Equation 11) 来定义⁸ \(\mathbf{A}\) 和 \(\varphi\): \[ \begin{cases} \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \\ \nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \end{cases} \implies \boxed{ \begin{cases} \mathbf{B} &=: \nabla \times \mathbf{A} \\ \mathbf{E} &=: -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} - \nabla \varphi \end{cases} } \tag{14}\]

  • 由 \(\mathbf{B}\) 的无散性 (Equation 10) 可引入磁势 \(\mathbf{A}\).
  • 代入到 Equation 11 由 \(\mathbf{E}+\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\) 的无旋性可引入电势 \(\varphi\).

⁸ 说是定义, 其实没有 well-defined, 因为对于给定的 \(\mathbf{B}\), 有无数个磁势 \(\mathbf{A}\) 可以选择 (通过不同的 Gauge). 但是一旦选择了 \(\mathbf{A}\) 的 Gauge, 由 Equation 14 中右边的第二个式子可知 \(\varphi\) 和 \(\mathbf{A}\) 是关联在一起的, 所以 \(\varphi\) 的 Gauge 也就随之确定了 (这叫做 Gauge 变换).

• Gauge 变换: 由 Section 2.2 有关 Gauge 的介绍可知: \(\varphi\) 和 \(\mathbf{A}\) 都不是唯一的, 他们可以分别选择各自的 Gauge 吗? 不能! 由 Equation 14 知: \(\mathbf{A}\) 和 \(\varphi\) 是关联在一起的, 当 \(\mathbf{A}\) 变化时, \(\varphi\) 必须跟着变, 稍加推导可得: \[ \begin{aligned} A \to A + \nabla \psi \\ \varphi \to \varphi - \frac{\partial \psi}{\partial t} \end{aligned} \tag{15}\]

Gauge 变换 (Equation 15) 的证明

两个势 (\(\mathbf{A}\) 和 \(\varphi\)) 由以下式子相关联: \[ \mathbf{E} =: -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} - \nabla \varphi \]

当 \(\mathbf{A}\) 变化成 \(\mathbf{A} + \nabla \psi\) 时, 假设 \(\varphi\) 变成了 \(\varphi'\). 不管 \(\mathbf{A}\), \(\varphi\) 怎么变, \(\mathbf{E}\) 都不能变, 即: \[ \begin{aligned} -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} - \nabla \varphi &= -\frac{\partial (\mathbf{A} + \nabla \psi)}{\partial t} - \nabla \varphi' \\ &= -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} - \nabla \frac{\partial \psi}{\partial t} - \nabla \varphi' \\ &= -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} - \nabla (\varphi' + \frac{\partial \psi}{\partial t}) \\ \implies \varphi &= \varphi' + \frac{\partial \psi}{\partial t} \\ \implies \varphi' &= \varphi - \frac{\partial \psi}{\partial t} \end{aligned} \]

Q.E.D.

• 我们把剩下两个方程 (Equation 9 和 Equation 12) 用 Equation 14 中的 \(\mathbf{A}\) 和 \(\varphi\) 替换掉, 得到 D’Alembert 方程: \[ \begin{cases} \nabla \cdot \mathbf{D} &= \rho_f \\ \nabla \times \mathbf{H} &= \mathbf{j}_f + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \end{cases} \implies \begin{cases} \epsilon \mu \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} - \nabla^2 \varphi &= \frac{1}{\epsilon} \rho_f \\ \epsilon \mu \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} - \nabla^2 \mathbf{A} &= \mu \mathbf{j}_f - \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A} + \epsilon \mu \frac{\partial \varphi}{\partial t}) \end{cases} \tag{16}\]

  • D’Alembert 算子: 这个算子经常以整体出现, 是 Minkowski 时空 上的 Laplace 算子⁹: \[\boxed{\Box^2 \equiv \nabla^2 - \epsilon \mu \frac{\partial^2}{\partial t^2}}\]

⁹ 有地方也省略平方, 或定义为相反数 (sign convention)

• Equation 16 几乎快要对称¹⁰了, 但是第二个式子过于魔怔, 我们希望通过选择一个合适的 Gauge, 使后面的 \(- \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A} + \epsilon \mu \frac{\partial \varphi}{\partial t})\) 消失掉.

  • Lorenz gauge 洛伦兹规范¹¹: \[\boxed{\nabla \cdot \mathbf{A} + \epsilon \mu \frac{\partial \varphi}{\partial t} = 0} \tag{17}\] Equation 16 变为 (\(4\) 维 Poisson 方程, 非常 nice!): \[ \boxed{ \begin{cases} \Box^2 \varphi = - \frac{1}{\epsilon} \rho_f \\ \Box^2 \mathbf{A} = - \mu \mathbf{j}_f \end{cases} } \tag{18}\]

  • Coulomb gauge 库伦规范: \[\boxed{\nabla \cdot \mathbf{A} = 0} \tag{19}\] Equation 16 变为: “rubbish” ╯°Д°）╯ \[ \begin{cases} \Box^2 \varphi = -\frac{1}{\epsilon} \rho_f \\ \Box^2 \mathbf{A} = \nabla (\epsilon \mu \frac{\partial \varphi}{\partial t}) - \mu \mathbf{j}_f \end{cases} \]

¹⁰ 为什么这里的 \(\mu\) 好像对应的是 \(1/\epsilon\)? 不是说 \(\mu\) 应该对应 \(\epsilon\) 吗? 原因是 \(\varphi\) 和 \(\mathbf{A}\) 就不是「对应」的. \(\varphi\) 用来定义了 \(\mathbf{E}\), 照理来说 \(\mathbf{E}\) 对应 \(\mathbf{H}\), 所以应该定义 \(\nabla \times \mathbf{A} := \mathbf{H}\), 但没这么做, 导致这个地方没有完全对称.

¹¹ 此 Lorenz 非彼 Lorentz (. 而且这个式子并没有显式地给出 \(\psi\) 是什么, 事实上能不能这样做是需要验证的, 如果存在合法的 \(\psi\) 才能这么做! 所以我们后面对其进行了合法性验证.

Lorenz gauge 和 Coulomb gauge 的合法性验证

我们需要证明 Equation 17 和 Equation 19 中确实定义了 \(\psi\) (也许没有唯一定义, 但我们至少得证明存在一个合法的 \(\psi\)).

• Equation 17 的合法性验证:

  将 Equation 15 代入 Equation 17, 得到: \[ \begin{aligned} \nabla \cdot (\mathbf{A} + \nabla \psi) + \epsilon \mu \frac{\partial}{\partial t} (\varphi - \frac{\partial \psi}{\partial t}) &= 0 \\ \implies \underbrace{\nabla \cdot \mathbf{A} + \epsilon \mu \frac{\partial \varphi}{\partial t}}_{0} + \nabla \cdot \nabla \psi - \epsilon \mu \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} &= 0 \\ \implies \nabla^2 \psi - \epsilon \mu \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} &= 0 \\ \implies \Box^2 \psi &= 0 \end{aligned} \]

  所以这样的 \(\psi\) 肯定是存在的, 只要满足 \[\boxed{\Box^2 \psi = 0}\] 所以 Equation 17 是合法的.

• Equation 19 的合法性验证:

  将 Equation 15 代入 Equation 19, 得到: \[ \begin{aligned} \nabla \cdot (\mathbf{A} + \nabla \psi) &= 0 \\ \implies \underbrace{\nabla \cdot \mathbf{A}}_{0} + \nabla^2 \psi &= 0 \\ \implies \nabla^2 \psi &= 0 \end{aligned} \]

  同理, 这样的 \(\psi\) 肯定也是存在的, 只要满足 \[\boxed{\nabla^2 \psi = 0}\] 所以 Equation 19 也是合法的.

8.4 Phasor representation 相量麦克斯韦方程组¹²

\[ \begin{cases} \nabla \cdot \mathbf{D} &= \rho_f \\ \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \\ \nabla \times \tilde{\mathbf{E}} &= -j \omega \tilde{\mathbf{B}} \\ \nabla \times \tilde{\mathbf{H}} &= \tilde{\mathbf{j}}_f + j \omega \tilde{\mathbf{D}} \\ \end{cases} \tag{20}\]

由于时谐波的情况下产生的电流 \(\mathbf{j}_f\) 一定也是时谐的: \(\tilde{\mathbf{j}}_f = \sigma \tilde{\mathbf{E}}\), 我们代入 Equation 20, 得到:

\[ \begin{cases} \nabla \cdot \mathbf{D} &= \rho_f \\ \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \\ \nabla \times \tilde{\mathbf{E}} &= -j \omega \tilde{\mathbf{B}} \\ \nabla \times \tilde{\mathbf{H}} &= (\sigma + j \omega \epsilon) \tilde{\mathbf{E}} \\ &=: j \omega \epsilon_c \tilde{\mathbf{E}} \\ \end{cases} \tag{21}\]

• Complex permittivity 复介电常数 \(\epsilon_c\)

  • 动机: 由于无损介质 (\(\sigma = 0\)) 中第四个 Maxwell 方程是 \[\nabla \times \mathbf{H} = j \omega \epsilon \tilde{\mathbf{E}}\] 我们希望在有损介质的情况下也有形式上完全一样的方程.

  • \(\epsilon_c\) 与频率有关¹³: \[\boxed{\epsilon_c = \epsilon - j \frac{\sigma}{\omega}}\]

¹³ 就像电容或电感的阻抗 \(Z\) 也与频率有关.

¹² Phasor representation 只是 Maxwell 方程组在「时谐」下的特例. 但由于 Fourier 变换, 仅仅考虑这种特例已经足够了 (“faithfully”).

9 Maxwell’s Equations Solution 麦克斯韦方程组的解

9.1 波在单一无源介质中的传播

9.1.1 \(\mathbf{E}\) 和 \(\mathbf{H}\) 单独的表现 (解耦合)

• Equation 11, Equation 12 是经典的两个变量的耦合方程, 显然他的解是波动的, 联立它们 (还有 \(\rho_f = 0, \mathbf{j}_f = \sigma \mathbf{E}\)), 解耦合得到:
  • 时域化简结果: \[ \begin{cases} \nabla^2 \mathbf{E} - \mu \sigma \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} - \epsilon \mu \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} &= 0 \\ \nabla^2 \mathbf{H} - \mu \sigma \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t} - \epsilon \mu \frac{\partial^2 \mathbf{H}}{\partial t^2} &= 0 \end{cases} \tag{22}\]
  • 相量域化简结果: 根据 Table 1, 可将 Equation 22 转换为相量形式 (也可以直接联立 Equation 21): \[ \begin{cases} \nabla^2 \tilde{\mathbf{E}} + k_c^2 \tilde{\mathbf{E}} &= 0 \\ \nabla^2 \tilde{\mathbf{H}} + k_c^2 \tilde{\mathbf{H}} &= 0 \end{cases} \tag{23}\] 其中 \[\boxed{k_c = \omega \sqrt{\epsilon_c \mu}}\] 注意 Equation 22 的耗散项 \(-\sigma \mu \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\) 融入进了复介电常数 \(\epsilon_c\) 里面.

Equation 22 和 Equation 23 的推导

将 Equation 11 再套一层旋度, 得到:

\[ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = - \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathbf{B}) \tag{24}\]

无源条件 (\(\nabla \cdot \mathbf{E} = 0\)) 下,

\[ \begin{aligned} \text{LHS} &= \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E} = -\nabla^2 \mathbf{E} \\ \text{RHS} &= - \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathbf{B}) = -\frac{\partial}{\partial t} (\mu \mathbf{j}_f + \epsilon \mu \frac{\partial E}{\partial t}) = -\frac{\partial}{\partial t} (\mu \sigma \mathbf{E} + \epsilon \mu \frac{\partial E}{\partial t}) \end{aligned} \]

由 \(\text{LHS} = \text{RHS}\) 得到: \[ \nabla^2 \mathbf{E} - \mu \sigma \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} - \epsilon \mu \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = 0 \tag{25}\]

同理可得:

\[ \nabla^2 \mathbf{H} - \mu \sigma \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t} - \epsilon \mu \frac{\partial^2 \mathbf{H}}{\partial t^2} = 0 \]

现在推导 Equation 23, 有两种方法:

• 从 Equation 21 开始, 直接联立得到. (Omitted)

• 从 Equation 25 开始, 用 Table 1 将其转换到相量表示: \[ \begin{aligned} \nabla^2 \mathbf{E} - \mu \sigma \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} - \epsilon \mu \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} &= 0 \\ \implies \nabla^2 - \mu \sigma j \omega \tilde{\mathbf{E}} - \epsilon \mu (-\omega^2) \tilde{\mathbf{E}} &= 0 \\ \implies \nabla^2 \tilde{\mathbf{E}} + \mu \omega^2 (\epsilon - j \frac{\sigma}{\omega}) \tilde{\mathbf{E}} &= 0 \\ \implies \nabla^2 \tilde{\mathbf{E}} + \epsilon_c \mu \omega^2 \tilde{\mathbf{E}} &= 0 \end{aligned} \] \(\mathbf{H}\) 同理.

• 若无源无损 (\(\sigma = 0\)), 则 Equation 22 变为:

  • 时域化简结果: (右边的是 \(4\) 维的 Laplace 方程描述) \[ \boxed{ \begin{cases} \nabla^2 \mathbf{E} - \epsilon \mu \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} &= 0 \\ \nabla^2 \mathbf{H} - \epsilon \mu \frac{\partial^2 \mathbf{H}}{\partial t^2} &= 0 \\ \end{cases} \quad \text{or} \begin{cases} \Box^2 \mathbf{E} = 0 \\ \Box^2 \mathbf{H} = 0 \\ \end{cases} } \tag{26}\]

  • 相量域化简结果: 与有损介质中的 Equation 23 一样 (这就是用复数的好处!), 只不过 \(\epsilon_c\) 退化为了 \(\epsilon\): \[k_c = \omega \sqrt{\epsilon \mu}\]

• Phase velocity 相速度

  • 将 Equation 26 与波动方程的一般形式比较, 可知相速度 \[\boxed{v = \frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu}}}\]

    • 一般我们说的「波速」就是指相速度. 光在 \(T\) 时间里刚好走了一个波长 \(\lambda\) (见 Figure 6), 所以波速就是: \[\boxed{v := \frac{\lambda}{T} = \lambda f} \tag{27}\]
    • 光速: 真空中的波速. 神说「要有光」:\[c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}.\]
    • 特例: 对于 \(\epsilon_r, \mu_0\) 的介质, 波速为 \[v = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_r \epsilon_0 \mu_0}} = \frac{c}{\sqrt{\epsilon_r}}\]

Figure 6: 光在 \(T\) 时间里刚好走了一个波长 \(\lambda\)

• 复值二阶 ODE (Equation 23) 解的结构:

  设 \(\mathbf{E}\) 是平行于 \(z\) 传播的水平偏振时谐波, \(\tilde{\mathbf{E}}: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{C}^3\) 为其相量场, 我们只考虑其 \(x\) 分量 \(f \equiv \tilde{E}^x: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{C}\), 满足: \[ \frac{\partial^2}{\partial z^2} f + k_c^2 f = 0 \] 这是一个复值二阶 ODE, 其通解为: \[ f = \underbrace{A e^{j k_c z}}_{-z \text{ direction}} + \underbrace{B e^{-j k_c z}}_{+z \text{ direction}} \] Let \(\gamma := j k_c = \alpha + j \beta\), 则有: \[ \begin{aligned} f &= A e^{(\alpha + j \beta) z} + B e^{-(\alpha + j \beta) z} \\ &= A e^{\alpha z} e^{j \beta z} + B e^{-\alpha z} e^{-j \beta z} \\ \end{aligned} \] 这是一个衰减和一个增大的复指数信号.

复衰减指数信号 (或振荡衰减波) 的参数

各参数的例子和可视化

时域 (或空间域) 复指数信号是形如 \(e^{\gamma t}\) (或 \(e^{\gamma z}\)) 的函数, 振荡衰减波是其实部. 其中 \(\gamma = \alpha + j \beta\) 是一个复数. 其参数含义如下:

• Phase constant 相位常数 \(\beta\): \(1 \text{ s}\) (或 \(1 \text{ m}\)) 内复化波转了多少度. 其实就是角波数¹⁴ \(k\).

  • Phase factor 相位因子: \(e^{j \beta t}\) (或 \(e^{j \beta z}\))

• Attenuation / Decay constant 衰减常数 \(\alpha\): 表示在任意时间 \(t\) (或任意位置 \(z\)), 若保持当前的衰减速率, \(1\text{ s}\) (或 \(1\text{ m}\)) 内能够衰减当前数量的多少倍.

  • Attenuation factor 衰减因子: \(e^{-\alpha t}\) (或 \(e^{-\alpha z}\))

• Time constant 时间常数¹⁵ \(\tau := 1/\alpha\): 表示在任意时间 \(t\) (或任意位置 \(z\)), 若保持当前的衰减速率, 衰减完毕所需要的时间 (或空间距离).

• Half life 半衰期 \(t_{1/2} := \ln 2 \cdot \tau\): 表示在任意时间¹⁶ \(t\) (或任意位置 \(z\)), 若保持当前的衰减速率, 衰减到一半所需要的时间 (或空间距离).

¹⁶ 这些参数居然跟具体处于什么时间 (或空间) 无关! 比如一堆放射性元素, 刚开始的时候放射性元素很多, 衰减得很快, 以这个速度衰减一半需要的时间是 \(t_{1/2}\). 但过一段时间, 放射性元素的数量减少了, 衰减速度变慢了, 但以这个速度衰减一半所需要的时间还是 \(t_{1/2}\)! 这个性质叫做 Self-similarity 自相似性.

¹⁵ 空间的话其实应该叫「空间常数」. 时间常数之于衰减常数如同: 频率 \(f\) 之于周期 \(T\), 波长 \(\lambda\) 之于线波数 \(\tilde{\nu}\).

¹⁴ 其实就是角波数 \(k\).

9.1.2 \(\mathbf{E}\) 和 \(\mathbf{H}\) 的关系

本章只研究¹⁷ 无源介质中向 \(+z\) 传播的水平偏振 (\(\mathbf{E}\) 只有 \(x\) 分量) 的时谐平面波.

¹⁷ 这种波是 Maxwell 方程组的特殊解, 而且比较常见.

Figure 7: 有损介质中 \(\mathbf{E}, \mathbf{H}\) 的幅度逐渐减小且它们的相位不同

• Intrinsic Impedance 特征阻抗 \(\eta_c\): 在这种情况下, \(\mathbf{E}\) 和 \(\mathbf{H}\) 始终垂直, 且它们的相位和幅度关系由复数 \(\eta_c\) 衡量: \[ \boxed{ \eta_c := \frac{\tilde{E}^x}{\tilde{H}^y} = \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon_c}}} \tag{28}\]

  • \(\eta_c\) 的单位恰好为 \(\Omega\): \(E: [\text{V/m}], H: [\text{A/m}]\).
  • 无损介质中 \(\eta_c\) 退化为实数, 即 \[\eta = \frac{E}{H} = \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \tag{29}\] 表明 无损介质中 \(\mathbf{E}\) 和 \(\mathbf{H}\) 是同相的 (见 Figure 7). 而且我们有:
    • \(E\) 恰好是 \(B\) 的波速倍: \[\boxed{\frac{E}{B} = \frac{E}{\mu H} = \frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu}} = v}\]
    • 真空中的特征阻抗: \[\eta_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}} \approx 377 ~\Omega\] 说明一般情况下 \(E\) 都要比 \(H\) 大很多.

特征阻抗 Equation 28 的推导

设该电磁波是:

• 沿 \(+z\) 方向传播的平面波
• 水平偏振, 即 \(\mathbf{E}\) 只有 \(x\) 分量, \(\mathbf{H}\) 只有 \(y\) 分量.
• 时谐, 但随空间指数衰减¹⁸ (因为有损介质 \(\sigma \neq 0\)).

\[ \tilde{\mathbf{E}} = \begin{pmatrix} \tilde{E}^x \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \tilde{\mathbf{H}} = \begin{pmatrix} 0 \\ \tilde{H}^y \\ 0 \end{pmatrix} \]

代入 Equation 11 (或 Equation 12, 再用 Table 1 翻译成相量表示): \[ \begin{aligned} \nabla \times \tilde{\mathbf{E}} &= -\frac{\partial}{\partial t} \tilde{\mathbf{B}} \\ \implies \begin{pmatrix} 0 \\ (- \gamma) \tilde{E}^x \\ 0 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 \\ (-j \omega) \tilde{B}^y \\ 0 \end{pmatrix} \\ \implies \frac{\tilde{E}^x}{\tilde{B}^y} &= \frac{j \omega}{\gamma} = \frac{j \omega}{j k_c} = \frac{\omega}{k_c} = \frac{\omega}{\omega \sqrt{\epsilon_c \mu}} = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_c \mu}} \\ \implies \frac{\tilde{E}^x}{\tilde{H}^y} &= \frac{\mu}{\sqrt{\epsilon_c \mu}} = \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon_c}} =: \eta_c \end{aligned} \]

¹⁸ 不能假设空谐!

• 电磁波的能量密度: 在无损介质中, 空间中某一点的能量密度有电场和磁场的贡献: \[\boxed{u = \frac{1}{2} \epsilon E^2 + \frac{1}{2} \mu H^2}\]
  • 由 Equation 29 可知: 电场和磁场贡献的能量是一样的: \[\boxed{\frac{1}{2} \epsilon E^2 = \frac{1}{2} \mu H^2}\]
  • 由于 \(E\) 和 \(H\) 在每一点都是不一样的, 假设是时谐波, 我们想求出空间中某一点 \(u\) 的时间平均值. 只考虑电场, 其平均值为 \(\epsilon E_m^2/4\), 再乘 \(2\) 得: \[\langle u \rangle = \frac{1}{2} \epsilon E_m^2 \tag{30}\]
  • Energy Flux Density 能流密度: 单位时间流过单位面积的能量 (即单位面积的功率, 也叫 Intensity 强度), 由于 \(1\text{ s}\) 内单位面积吸收了数值上为波速 \(v\) 长度的能量, 只需要将 Equation 30 放大 \(v\) 倍: \[I := \text{Energy Flux Density} = \frac{1}{2} v \epsilon E_m^2\]
  • Poynting vector \(\mathbf{S}\): 一个矢量, 我们希望用它的方向表征能量流动的方向, 长度的时间平均代表能流密度. 可以证明以下定义可同时满足这两个需求: \[\boxed{\mathbf{S} := \mathbf{E} \times \mathbf{H}} \tag{31}\]
    • \(\langle S \rangle\) 与能流密度的关系: \[\langle S \rangle = I = \frac{1}{2} v \epsilon E_m^2\]
    • \(\langle \mathbf{S} \rangle\) 的相量表示: \[\boxed{\langle \mathbf{S} \rangle = \frac{1}{2} \Re (\tilde{\mathbf{E}} \times \tilde{\mathbf{H}}^*)} \tag{32}\]

\(\mathbf{S}\) 为什么这么定义 Equation 31?

首先 \(\mathbf{S}\) 的方向肯定是波传播的方向, 我们只需要验证其长度的时间平均值是能流密度.

\[ \begin{aligned} S &= EH = \frac{E^2}{\eta} \\ \implies \langle S \rangle &= \frac{1}{2} \frac{E_m^2}{\eta} \\ &= \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}} E_m^2 \\ &= \frac{1}{2} \epsilon \sqrt{\frac{1}{\epsilon \mu}} E_m^2 \\ &= \frac{1}{2} \epsilon v E_m^2 = \text{Energy Flux Density} \end{aligned} \]

Equation 32 的证明

Pf.

\[ \begin{aligned} \mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{H} &= \Re{(\tilde{\mathbf{E}} e^{j \omega t}) \times \Re{(\tilde{\mathbf{H}} e^{j \omega t})}} \\ &= \frac{1}{2} \left(\tilde{\mathbf{E}} e^{j \omega t} + \tilde{\mathbf{E}}^* e^{-j \omega t}\right) \times \frac{1}{2} \left(\tilde{\mathbf{H}} e^{j \omega t} + \tilde{\mathbf{H}}^* e^{-j \omega t}\right) \\ &= \frac{1}{4} \left(\tilde{\mathbf{E}} \times \tilde{\mathbf{H}} e^{2 j \omega t} + \tilde{\mathbf{E}} \times \tilde{\mathbf{H}}^* + \tilde{\mathbf{E}}^* \times \tilde{\mathbf{H}} + \tilde{\mathbf{E}}^* \times \tilde{\mathbf{H}}^* e^{-2 j \omega t}\right) \\ \implies \langle \mathbf{S} \rangle = \langle \mathbf{E} \times \mathbf{H} \rangle &= \frac{1}{4} \left(\tilde{\mathbf{E}} \times \tilde{\mathbf{H}}^* + \tilde{\mathbf{E}}^* \times \tilde{\mathbf{H}}\right) \\ &= \frac{1}{4} \left(\tilde{\mathbf{E}} \times \tilde{\mathbf{H}}^* + \left(\tilde{\mathbf{E}} \times \tilde{\mathbf{H}}^*\right)^*\right) \\ &= \frac{1}{2} \Re (\tilde{\mathbf{E}} \times \tilde{\mathbf{H}}^*) \end{aligned} \]

Q.E.D.

9.2 平面波经过两种介质的界面

• 一个时谐波 \(\mathbf{E}_i\) 从介质 1 入射 (Incident) 介质 2 时, 会发生反射 (Reflect) 和折射 (继续传播, Transmit), 这两种波的相量与入射波相量和介质的性质有关:
  • Reflection coefficient 反射系数: \[\boxed{\Gamma := \frac{\tilde{E}_r}{\tilde{E}_i} = \frac{\eta_{2c} - \eta_{1c}}{\eta_{2c} + \eta_{1c}}} \tag{33}\] 有些地方 ([1]) 把反射系数定义为反射的能量占比: \[R := \left| \Gamma \right|^2 = \left| \frac{\eta_{2c} - \eta_{1c}}{\eta_{2c} + \eta_{1c}} \right|^2\]
  • Transmission coefficient 透射系数: \[\boxed{\tau := \frac{\tilde{E}_t}{\tilde{E}_i} = \frac{2 \eta_{2c}}{\eta_{2c} + \eta_{1c}}} \tag{34}\] 也可以用能量占比来定义: \[T := \left| \tau \right|^2 = \left| \frac{2 \eta_{2c}}{\eta_{2c} + \eta_{1c}} \right|^2\]
  • 能量守恒: \[R + T = 1\]

从边界条件推导反射系数和透射系数

利用切向边界条件:

\[ \begin{aligned} &\begin{cases} \tilde{E}_{1t} &= \tilde{E}_{2t} \\ \tilde{H}_{1t} &= \tilde{H}_{2t} \end{cases} \\ \implies & \begin{cases} \tilde{E}_i + \tilde{E}_r &= \tilde{E}_t \\ \tilde{H}_i - \tilde{H}_r &= \tilde{H}_t \end{cases} \\ \implies & \begin{cases} \tilde{E}_i + \tilde{E}_r &= \tilde{E}_t \\ \frac{\tilde{E}_i - \tilde{E}_r}{\eta_{1c}} &= \frac{\tilde{E}_t}{\eta_{2c}} \end{cases} \end{aligned} \]

求解即可得到 Equation 33 和 Equation 34.

反射的本质是为了让偏微分方程的解满足边界条件而引入的修正项, 如果不引入 \(\tilde{E}_r\), 则由切向边界条件得:

\[ \begin{cases} \tilde{E}_i &= \tilde{E}_t \\ \frac{\tilde{E}_i}{\eta_{1c}} &= \frac{\tilde{E}_t}{\eta_{2c}} \end{cases} \]

这是无解的.

10 Harmonic Waves 谐波

10.1 Wave parameters 波参数

• EM 波并不都是 Harmonic 的. 可以在空间上周期, 也可以在时间上周期.

• 谐波在 「空间」 和 「时间」 都是周期性的振动, 怎么描述这种振动的快慢呢:

  • 单位长度 (或 时间) 内振了几下.

    • (linear) wave number 波数 \(\tilde{\nu}\): \(1\text{ m}\) 内振了几下.
    • frequency 频率 \(f\): \(1\text{ s}\) 内振了几下.

  • 振一下花了多少长度 (或 时间).

    • wavelength 波长 \(\lambda\): 振一下占了多少米.
    • period 周期 \(T\): 振一下花了多久.

  • 以上二者度量方法相反, 显然数值上互为倒数: \(\tilde{\nu} = 1/\lambda, f = 1/T\).

  • 角度的世界: 周期性的东西可以很自然的 wind up to 一个圆上, 度量方式也从「振了几下」变成了「转了多少度」. 每振一下对应 \(2\pi\). 所以以上四个概念通通可翻译成角度世界的度量: 乘 \(2\pi\).

    • angular wave number 角波数 \(k\), angular frequency 角频率 \(\omega\), angular wavelength 角波长 \(\bar{\lambda}\), angular period 角周期 \(\bar{T}\).

    • \(\cos\) 里面 还有 \(e\) 指数 上的量 就是角度世界的生物, 现实世界的量 (\(\tilde{\nu}, f, \lambda, T\)) 不允许不乘 \(2\pi\) 出现在这些地方. (错误搭配: \(\cos (ft)\), \(e^{j \tilde{\nu} x}\))

      

      线性世界中的参数 与 角度世界的参数 的关系

10.2 Polarization 极化 (偏振)

• 一束光可以分解一些光波的叠加, 每个光波 (的电场分量) 都只会表现出 Figure 8 的三种状态之一, 称为 Polarization 极化. 当一束光里面的光波几乎都以相同方式极化时, 这束光就被称为 Polarized 偏振光.

  

  Figure 8: 电磁波的三种极化状态

• 圆极化可以进一步分为右旋圆极化和左旋圆极化.

  • Right-handed 右旋圆极化: 固定空间¹⁹一点, 其电场的随时间旋转方向用右手环绕时, 大拇指指向光波传播方向.
  • Left-handed 左旋圆极化: 固定空间一点, 其电场的随时间旋转方向用左手环绕时, 大拇指指向光波传播方向.

¹⁹ 注意一定是固定空间而不是时间, 不然就搞反了!

右旋圆极化

左旋圆极化

10.2.1 极化类型的判断:

Figure 9: 庞加莱球上的每个点代表了一种极化类型

• 我们知道 \(\mathbb{CP}^1\) 上的点可以用 Homogeneous coordinates 齐次坐标 \([z:1]\) 表示 (\(\infty\) 用 \([1:0]\) 表示), 如 Figure 9:
  • \([0:1]\) Vertical 垂直极化 (因为水平分量 \(z = 0\))
  • \([1:0]\) Horizontal 水平极化 (因为垂直分量 \(1/z = 0\))
  • \([1:1]\) Diagonal 对角极化 (因为水平分量和垂直分量在任意时刻相等)
  • \([-1:1]\) Anti-diagonal 反对角极化 (因为水平分量和垂直分量在任意时刻相等但符号相反)
  • \([j:1]\) Right-handed Circular 右旋圆极化²⁰ (比如在 Equation 8 中, 当 \(E^x = E^y = 1\) 时就是这种极化).
  • \([-j:1]\) Left-handed Circular 左旋圆极化
• 当 \(E^x \neq E^y\) 时, 为 Elliptical 椭圆极化. 在 Figure 9 的 R 半球上则为 Right-handed Elliptical 右旋椭圆极化, 在 L 半球上则为 Left-handed Elliptical 左旋椭圆极化.

²⁰ 记忆方法: 将虚轴 \(j\mathbb{R}\) 横过来, \(j\) 在正半轴 (右边), 所以对应的就是右旋圆极化.

References

1.

Griffiths DJ (2017) Introduction to electrodynamics. Cambridge University Press